# 线性代数笔记一

# 第一章 线性方程组

# 数域及 N 元向量

# 数域的一些相关

• 设 P 是由一些数组成的集合，<u> 其中包括 0 与 1</u>，如果 P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为 0）仍是 P 中的数，则称 P 为一个数域。

  常见数域： 复数域 C；实数域 R；有理数域 Q。

  （注意：自然数集 N 及整数集 Z 都不是数域。）

  说明：

  • 若数集 P 中任意两个数作某一运算的结果仍在 P 中，则说数集 P 对这个运算是封闭的。

  • 数域的等价定义：如果一个包含 0，1 在内的数集 P 对于加法，减法，乘法与除法（除数不为 0）是封闭的，则称数集 P 为一个数域。

• 逆元、单位元

  • 逆元：在集合中定义某种运算 f (x)，元素与其逆元进行 f (x) 运算得到该运算单位元。

    • 加法逆元：即相反数，元素与其加法逆元之和为加法单位元 0。
    • 乘法逆元：即倒数，元素与其乘法逆元之积为乘法单位元 1。

  • 单位元：当它和其他元素结合时，并不会改变那些元素。

    • 加法单位元 0，n+o=n;
    • 乘法单位元 1，n*1=n;

• <u> 由数域的定义知数域中一定含有加法逆元乘法逆元，加法单位元乘法单位元。</u>

# 集合与向量

• 笛卡尔积
• 多元有序数组
• 坐标系
  • 多元有序数组是 N 维空间与笛卡尔积的集合的映射。
• 列向量与横向量

# 矩阵初识

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于 n 的矩阵称为 n 阶矩阵或 n 阶方阵。

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• 初等变换

• 单位阵（diag）

• 矩阵相等必须先是同型矩阵

• 同型矩阵才能做加减

• 行阶梯矩阵，行简化形阶梯矩阵

  每个矩阵都与唯一一个行简化阶梯矩阵对应（行阶梯矩阵不唯一，行简化阶梯矩阵唯一）

• 矩阵的秩

  设非零矩阵 A 经过初等行变化化为行阶梯形矩阵 R，R 中非零行的个数称为矩阵 A 的秩，记作 rankA，或者 r (A)。

# 线性方程组

# 有解判别定理

线性方程组根据解的判定定理判定为：r（A）=r（A|b）

秩要相等。（在做题时要给出判定）

# 同解方程组

• 反身性
• 对称性
• 传递性

# 消元步骤

1. 特解

   增广矩阵化简到行简化阶梯矩阵

2. 通解

# 第二章 行列式

# 行列式

# 计算

• 三对角行列式计算

  常用递推法，三角化方法解决。

  考虑到类似数列的求通项法。

• 异乘变零

# 展开

• 按行按列展开

  注意语句，等式逻辑，余子式与代数余子式的区别。

  余子式的逆运算，不止一个原式 (替换某一列 (行) 的数据不改变其余子式)

• 范德蒙德展开

• 含 0 阵的行列式展开 ***(按块展开)***

行列式的转置还是它自己，即值不变。

# 第三章 矩阵

# 矩阵加法

必须是同型矩阵，对应元素分别相加。

# 矩阵乘法

行列相乘法，左矩阵的列数要等于右矩阵的行数。

注意元素对应。矩阵乘法一般不可逆。单位阵相乘可逆，对角阵相乘可逆。

# 矩阵的转置与行列式化

若矩阵 A 满足 A=A^T，则称 A 为对称矩阵；若 A^T=-A，则称 A 为反对称矩阵.

• A+A^T,AA^T 是对称矩阵
• A-A^T 是反对称矩阵
• E_n^T=E_n
• 奇数阶反对称矩阵的行列式等于 0
• .|kA|=kⁿ|A|.
• .|AB|=|A||B|.

# 初等矩阵

• 左行右列定理

  如果矩阵 A 左 (右) 乘一个初等矩阵，那么相当于对 A 做了一次和它完全相同的初等行 (列) 变换

• 方阵的迹

• tr(AB)=tr(BA)

• tr(A^T)=tr(A)

# 伴随矩阵

# 矩阵逆元