# 高等数学・一

学习时做的一些笔记，顺便对内容梳理一遍。^0

# 第一章 函数与极限

# 第一节 映射与函数

• 映射

  与 x 所对应的 y 称为 x 在映射 f 下的象。
  x 称为 y 在 f 下的原象。

  满射、一一映射、单射、双射

  A 映射得到的 B 集合等于映射的目标集合则是满射。

  对每个 y 都有唯一一个 x 对应，则是单射或称一一映射。

  若 f 既是满射又是单射则称为双射。

• 函数定义与表示方法

  • 特殊函数

    • 狄利克雷函数

      狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以 Y 轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。

    • 符号函数

    • 取整函数

      函数 y=[x] 称为取整函数，也称高斯函数。其中不超过实数 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记作 [x]。该函数被广泛应用于数论，函数绘图和计算机领域。

  • 函数的有界性

    函数 f (x) 在 D 上有界的充要条件是 f (x) 在 D 上既有上界又有下界。

• 函数的单调性

  • 单调增 (减) 函数
  • 严格单调增 (减) 函数

• 函数的四则运算

• 复合函数

  形如： f(g(u(x))) 或 f o g o u

• 反函数

  反函数的单调性基本归纳于 先外后内，同增异减。

• 初等函数

  初等函数是由幂函数（power function）、指数函数（exponential function）、对数函数（logarithmic function）、三角函数（trigonometric function）、反三角函数（inverse trigonometric function 与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。

# 第二节 数列的极限

• 邻域

  • 邻域
  • 去心邻域
  • 左 (右) 邻域

• 数列基本概念

  • 有限 or 无限

  • 通项公式

  • 整标函数

  • 子数列

  • 单调性

    作差或作商求单调性。有时候利用数列的单调性可能会得到惊喜的解题方式。

• 数列极限

• 收敛数列与数列的有界性

  tip：数列收敛一定有界，数列有界不一定收敛

  • 极限唯一性 & 有界性 & 保号性

• 极限四则运算法则（严格意义上要分别证明数列的与函数的）

# 第三节 函数的极限

• 函数极限

  函数某点极限存在的充要条件是左右极限都存在且相等。

• 海涅 (Heine) 定理

• 求函数极限

  • 简单的有限次函数，如果最高次项系数相等比较最高次项系数，如果不等，次数高的为高阶无穷大量。
  • 妙用，分子有理化，分母有理化。
  • 通分消去。
  • 立方差、因式分解。
  • 裂项等将无穷项收缩的方法。
  • ......

• 复合函数极限

# 第四节 函数的连续性

• 连续性概念

  由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

• 间断点分类